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Física e Matemática



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RELAÇÃO DE EULER

FACULDADES INTEGRADAS DE TAQUARA
FACCAT


RELAÇÃO DE EULER



DIOVANA GUERRA SIMÕES
JOÃO C.BUENO
LUCIANA LAZER
MARISA GUERRA DE AVILA JUNGES
MÔNICA REGINA GASPERIM
VANDOIR A. BOCK



Taquara
2008.

Objetivos:

É fato que a maioria dos programas atuais têm recomendado mais atenção à geometria tridimensional. Entretanto trabalhar geometria espacial sem que os alunos manipulem, construam ou "vejam" objetos "não dá conta do recado", o tema tende a ser desinteressante desprovido de significados e de desafios.
As seqüências de atividades aqui propostas dão conta de trabalhar objetivos de natureza conceitual, atitudinal e procedimental. As atividades permitem que os alunos desenvolvam habilidades de visualização, percepção visual e representação mental de figuras tridimensionais; enriquecem ainda suas capacidades de investigar e predizer o resultado de combinar, decompor e transformar figuras.
Quanto às atitudes matemáticas, essas são enriquecidas quando os alunos desenvolvem hábitos de problematização, formulação de conjecturas, organização de dados, geração de novos problemas e hipóteses; quando elaboram projetos e exercitam sua argumentação, o que se dá no processo de socialização.

1 RELAÇÃO DE EULER

1.1 Histórico

Euler foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele nasceu na Basileia, ao norte da Suica quase na fronteira com a Franca, no dia 15 de abril de 1707. Filho primogênito de Paul Euler, um pastor protestante Calvinista de parcos recursos, e de sua mulher Margarete Brucker, Euler foi a princıpio educado por seu próprio pai, ex-estudante de Jacob Bernoulli. Iniciou estudos em Teologia em 1720 na Universidade da Basileia. Posteriormente passou a estudar Matemática tendo como tuto Johann Bernoulli, o que também foi importante para que Euler seguisse a carreira de matemático ao invés de pastor. Quando tinha 19 anos, ainda estudante de Johann apresentou como tese para a catedra de física uma memória denominada Dissertação Física sobre o Som. Embora não obtivesse a catedra, esse curto e claro panfleto tornou-se imediatamente um clássico e serviu de guia a pesquisa em acústica pelo restante do século. Ele próprio contribuiu mais a acústica teórica, como conhecemos o assunto hoje, que qualquer outro homem a qualquer tempo.
Em 1727, Euler mudou-se para São Petersburgo, Rússia, onde conseguiu uma posição na recém-criada Academia de Ciências de São Petersburgo. Casou-se em 1734 e teve 13 filhos, dos quais apenas 5 sobreviveram. Consta que o próprio Euler declarou uma vez que suas principais criações matemáticas ocorreram quando tinha um bebe no colo e crianças brincando ao seu redor. Na Academia de Ciências e Belas-letras de Berlim, foi diretor da Classe de Matemática onde permaneceu ate 1766. Os primeiros problemas de saúde de Euler surgiram em 1735. Em 1738, ele perdeu a visão em seu olho direito. Em 1766, uma catarata tomou-lhe a visão no olho esquerdo. Sua deficiência visual não o impediu, entretanto, de vir a ser o mais produtivo de todos os matemáticos, pois compensou-a com sua magnífica capacidade de realizar cálculos mentalmente aliada a sua memória aparentemente inesgotável e `a ajuda de um redator.
Em 1741, mudou-se para a Alemanha para assumir uma posição na Academia de Ciências de Berlim. Retornou para São Peterburgo em 1766, pouco antes de perder sua visão, com 59 anos, onde permaneceu ate seu falecimento com 76 anos em 7 de setembro de 1783. Nesse período de 17 anos Euler escreveu quase metade de suas 866 obras, apesar da cegueira.
Euler exibiu cada uma das qualidades exaltadas por um matemático. Absorveu e expandiu todos os ramos que eram cultivados em seu tempo; trouxe de volta a vida assuntos antigos e negligenciados e traçou novos cursos de pensamento que vieram a florescer em séculos posteriores.
Não e surpresa, portanto, que na literatura matemática o nome de Euler apareça associado a varias invenções, teoremas e formulas.

A relação V + F = A + 2, leva o nome de Leonhard Euler (1707-1783), por que ele foi o primeiro a fazer uma demonstração rigorosa desse fato. Mas quem primeiro a formulou foi René Descartes (1596-1650), o grande filósofo e matemático criador da Geometria Analítica há um manuscrito de Descartes, produzido por volta de 1639, que contem resultados a partir dos quais se poderia obter a formula acima como conseqüência imediata, mas Descartes não parece ter notado isso. Em 1811 Augustin Cauchy generalizou a relação para V + F - A = K, onde a constante K vai depender do número de "buracos" existentes no poliedro.
A generalização da relação de Euler serve à topologia e à teoria de grafos. Imagine por exemplo, que se possa esticar uma das faces de um cubo e, em seguida, projetar as arestas sobre esta face, como se o cubo pudesse ficar totalmente achatado. A nova figura mantém o número de vértices e arestas do cubo original, mas o número R de regiões planas visíveis diminui de uma unidade. Nesta rede plana V + R - A = 1. Verifique esta nova relação achatando outros poliedros.

1.2 Relação de Euler

1. Um poliedro convexo possui 6 faces quadrangulares e 8 vértices. Calcule o nº de arestas.
2. Um poliedro convexo possui 6 faces retangulares e 2 hexagonais. Calcular o n° de vértices desse poliedro.
Obs: Dar um tempo para eles resolverem após apresentar as figuras e explicar a relação.
Observe os exemplos:


O matemático suiço Leonhard Euler descobriu uma importante relação entre o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.
V - A + F = 2 ( Relação de Euler ). Portanto, em todo poliedro convexo é válida esta relação em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Assim:
Cubo tem F = 6, V = 8 e A = 12
Tetraedo tem F = 4, V = 4 e A = 6
Dodecaedro tem F = 12, V = 20 e A=30
Prisma da base pentagonal F = 7, V = 10 e A = 15
Piramide de base triangular tem F = 4, V = 4 e A =6.
Observe que, para cada um dos poliedros, o número de arestas é exatamente 2 unidades menos que a soma do número de faces com o número de vertíces:
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
1.3 Atividade com o sabão
Obs: Vamos só demonstrar e explicar, não vamos distribuir nos grupos devido ao tempo, pois ainda temos que trabalhar com área e volume.
Materiais: sabão e um instrumento cortante (faca ou estilete).
Obs.: Não esqueça de orientar e monitorar o uso do instrumento cortante pelos alunos.
Construção do cubo:
Ø Que decisões devem ser tomadas para obter um cubo a partir de cortes de sabão?
Ø Quais são as propriedades emergentes do cubo que orientam essas decisões?
Um corte aqui outro ali, inicialmente os alunos procuram garantir o perpendicularismo das faces - dizemos que esta é uma propriedade emergente - para em seguida cuidar que as medidas das arestas sejam iguais.

Daqui em diante toda referência a cortes, deve ser entendida como uma operação de corte que produz seções planas.
Lapidando o cubo
O que acontece quando cortamos um "naco" qualquer do cubo de sabão ?

Cortado de acordo com o indicado pela ilustração obtém-se dois poliedros: uma pirâmide de base triangular e um outro de formato irregular. Chamemos este último de 7-edro (poliedro de 7 faces). As faces de nosso 7-edro são: 3 quadrados, 3 pentágonos e um triângulo.
Para os propósitos deste artigo um n-edro é um poliedro de n faces. Assim um poliedro de 7 faces será chamado de 7-edro ao invés de heptaedro como se poderia esperar. A escolha deve-se ao fato de que uma vez que nomes particulares têm sido reservados para poliedros especiais como os de Platão : tetraedro (4-edro), hexaedro (6-edro), octaedro (8-edro), dodecaedro (12-edro) e icosaedro (20-edro). Num poliedro regular todas as faces são polígonos regulares do mesmo tipo e seus ângulos diedros são todos iguais.
Quantos vértices tem este 7-edro ?
Observe que o corte fez perder um dos vértices do cubo original, e fez surgir outros 3 vértices (os vértices do triângulo da seção de corte).
V = 8 - 1 + 3 = 10
Quanto às arestas, o corte alterou o tamanho de 3 das arestas do cubo, e fez surgir 3 arestas (os lados do triângulo da seção de corte).
A = 12 + 3
Organizando os dados numa tabela
Poliedro V F A

Cubo 8 6 12 F1  F0 + 1V1  V0 + 2A1  A0 + 3

depois do 1º corte 8 - 1 + 3 = 10 6 + 1 = 7 12 + 3 = 15
Analise como variam V, F e A depois do corte indicado pela figura seguinte.

Surgiu uma nova face de formato retangular; dois vértices foram perdidos e quatro novos apareceram; uma aresta sumiu e quatro novas apareceram.
Poliedro V F A

Cubo 8 6 12

depois do 1º corte 8 - 1 + 3 = 10 6 + 1 = 7 12 + 3 = 15 F2  F1 + 1V2  V1 + 2A2  A1 + 3

depois do 2º corte 10 - 2 + 4 = 12 7 + 1 = 8 15 - 1 + 4 = 18
Tente imaginar como seria um 3º corte que produz a nova linha da tabela:
Poliedro V F A F3  F2 + 1V3  V2 + 2A3  A2 + 3

depois do 3º corte 12 + 2 = 14 7 + 1 = 8 18 + 3 = 21
Repetindo o procedimento de cortes e de ampliação da tabela os alunos são provocados a formular conjecturas a partir da observação de regularidades e invariantes.
Enquanto a tabela é ampliada a partir do aumento do número de cortes, aumentam as possibilidades de os alunos perceberem que as operações de corte não alteram a relação entre vértices, faces e arestas, ela mantém-se invariável, ou seja, V + F - A = 2. De modo geral a constante 2 é descoberta pelos alunos sempre que têm a oportunidade de fazer variar os dados, construir e ampliar tabelas.
Até aqui não foram colocadas condições de corte, são cortes aleatórios, que por isso produzem "poliedros mal comportados", ainda assim algumas propriedades importantes podem ser intuídas pelos alunos, gerando a formulação de proposições e conjecturas.



Referências Bibliográficas

www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_publicados.asp?aux=Sabao - 102k -
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